Como encontrar algebricamente a intersecção de duas linhas, olha isso

Quando linhas retas se cruzam em um gráfico bidimensional, elas se encontram em apenas um ponto, [1] descrito por um único conjunto de -e – -coordenadas. Como as duas linhas passam por esse ponto, você sabe que as coordenadas – e – devem satisfazer as duas equações. Com algumas técnicas extras, você pode encontrar as interseções de parabolas e outras curvas quadráticas usando lógica semelhante.

Método 1

1:

Escreva a equação para cada linha com o lado esquerdo. Se necessário, reorganize a equação para que fique sozinho em um lado do sinal igual. Se a equação usar ou, em vez de, separe esse termo. Lembre -se de que você pode cancelar os termos executando a mesma ação para os dois lados. Comece com a equação básica. [2] Se você não conhece as equações, encontre -as com base nas informações que possui. Exemplo: suas duas linhas são e. Para ficar sozinho na segunda equação, adicione 12 a cada lado:

  • Comece com a equação básica. [2]
  • Se você não conhece as equações, encontre -as com base nas informações que você tem.
  • Exemplo: suas duas linhas são e. Para ficar sozinho na segunda equação, adicione 12 a cada lado:
  • 2:

    Defina os lados direito da equação igual um ao outro. Estamos procurando um ponto em que as duas linhas tenham o mesmo e os valores; É aqui que as linhas cruzam. Ambas as equações têm apenas no lado esquerdo, então sabemos que os lados certos são iguais um ao outro. Escreva uma nova equação que represente isso. Por exemplo, se você quiser saber onde as linhas y = x + 3 cruzam y = 12 – 2x, você as equipararia escrevendo x + 3 = 12 – 2x. [3]

  • Por exemplo, se você quiser saber onde as linhas y = x + 3 cruzam y = 12 – 2x, você as equipararia escrevendo x + 3 = 12 – 2x. [3]
  • 3:

    Resolva para x. A nova equação possui apenas uma variável ,. Resolva isso usando álgebra, realizando a mesma operação em ambos os lados. Obtenha os termos de um lado da equação e coloque -a na forma. [4] (Se isso for impossível, pule até o final desta seção.) Exemplo: Adicione a cada lado: subtrair 3 de cada lado: Divida cada lado por 3 :.

  • Exemplo:
  • Adicione a cada lado:
  • Subtrair 3 de cada lado:
  • Divida cada lado por 3:
  • .
  • 4:

    Use este valor para resolver. Escolha a equação para qualquer linha. Substitua todos na equação pela resposta que você encontrou. Faça a aritmética para resolver. [5] Exemplo: e

  • Exemplo: e
  • 5:

    Verifique seu trabalho. É uma boa ideia conectar seu valor à outra equação e ver se você obtém o mesmo resultado. Se você obtiver uma solução diferente, volte e verifique seu trabalho para erros. [6] Exemplo: e esta é a mesma resposta de antes. Não cometemos nenhum erro.

  • Exemplo: e
  • Esta é a mesma resposta de antes. Não cometemos nenhum erro.
  • 6:

    Anote as coordenadas da interseção. Agora você resolveu o valor e o valor do ponto em que as duas linhas se cruzam. Anote o ponto como um par de coordenadas, com o valor como o primeiro número. [7] Exemplo: e as duas linhas se cruzam em (3,6).

  • Exemplo: e
  • As duas linhas se cruzam em (3,6).
  • 7:

    Lide com resultados incomuns. Algumas equações tornam impossível resolver. Isso nem sempre significa que você cometeu um erro. Existem duas maneiras pelas quais um par de linhas pode levar a uma solução especial: se as duas linhas forem paralelas, elas não se cruzam. Os termos serão cancelados e sua equação simplificará para uma declaração falsa (como). Escreva “As linhas não se cruzam” ou nenhuma solução real “como sua resposta. Se as duas equações descreverem a mesma linha, elas” cruzam “em todos os lugares. Os termos cancelarão e sua equação simplificará para uma declaração verdadeira (como) . Escreva “As duas linhas são as mesmas” que sua resposta.

  • Se as duas linhas forem paralelas, elas não se cruzam. Os termos serão cancelados e sua equação simplificará para uma declaração falsa (como). Escreva “As linhas não se cruzam” ou nenhuma solução real “como sua resposta.
  • Se as duas equações descreverem a mesma linha, elas “se cruzam” em todos os lugares. Os termos serão cancelados e sua equação simplificará para uma declaração verdadeira (como). Escreva “As duas linhas são as mesmas” que sua resposta.
  • Método 2

    Problemas com equações quadráticas

    1:

    Reconheça equações quadráticas. Em uma equação quadrática, uma ou mais variáveis ​​são quadradas (ou) e não há poderes mais altos. As linhas representam que essas equações representam são curvas, para que possam cruzar uma linha reta em 0, 1 ou 2 pontos. Esta seção ensinará como encontrar as soluções 0, 1 ou 2 para o seu problema. Expanda as equações com parênteses para verificar se são quadráticos. Por exemplo, é quadrático, pois se expande em equações para um círculo ou elipse, têm um e um termo. [8] [9] Se você está tendo problemas com esses casos especiais, consulte a seção Dicas abaixo.

  • Expanda as equações com parênteses para verificar se são quadráticos. Por exemplo, é quadrático, pois se expande para
  • Equações para um círculo ou elipse têm um e um termo. [8] [9] Se você está tendo problemas com esses casos especiais, consulte a seção Dicas abaixo.
  • 2:

    Escreva as equações em termos de y. Se necessário, reescreva cada equação para que Y fique sozinho de um lado. Exemplo: encontre a interseção de e. Reescreva a equação quadrática em termos de y: e. Este exemplo possui uma equação quadrática e uma equação linear. Problemas com duas equações quadráticas são resolvidas de maneira semelhante.

  • Exemplo: encontre a interseção de e.
  • Reescreva a equação quadrática em termos de y:
  • e.
  • Este exemplo possui uma equação quadrática e uma equação linear. Problemas com duas equações quadráticas são resolvidas de maneira semelhante.
  • 3:

    Combine as duas equações para cancelar o y. Depois de definir as duas equações iguais a y, você sabe que os dois lados sem um Y são iguais um ao outro. Exemplo: e

  • Exemplo: e
  • 4:

    Organize a nova equação para que um lado seja igual a zero. Use técnicas algébricas padrão para obter todos os termos de um lado. Isso definirá o problema para que possamos resolvê -lo na próxima etapa. Exemplo: subtrair x de cada lado: subtrair 7 de cada lado:

  • Exemplo:
  • Subtrair x de cada lado:
  • Subtrair 7 de cada lado:
  • 5:

    Resolva a equação quadrática. Depois de definir um lado igual a zero, existem três maneiras de resolver uma equação quadrática. Pessoas diferentes acham os diferentes métodos mais fáceis. Você pode ler sobre a fórmula quadrática ou “completar o quadrado” ou seguir junto com este exemplo do método de fatoração: Exemplo: o objetivo de fatorar é encontrar os dois fatores que se multiplicam para fazer essa equação. Começando com o primeiro termo, sabemos que podem se dividir em x e x. Anote (x

    ) (x

    ) = 0 para mostrar isso. O último termo é -6. Liste cada par de fatores que se multiplicam para fazer seis negativos :,,, e. O termo intermediário é x (que você pode escrever como 1x). Adicione cada par de fatores até obter 1 como resposta. O par de fatores corretos é, desde então. Preencha as lacunas em sua resposta com este par de fatores:

  • Exemplo:
  • O objetivo de fatorar é encontrar os dois fatores que se multiplicam para fazer essa equação. Começando com o primeiro termo, sabemos que podem se dividir em x e x. Anote (x

    ) (x

    ) = 0 para mostrar isso.

  • O último termo é -6. Liste cada par de fatores que se multiplicam para fazer seis negativos :,, e.
  • O termo do meio é x (que você pode escrever como 1x). Adicione cada par de fatores até obter 1 como resposta. O par correto de fatores é, desde então.
  • Preencha as lacunas em sua resposta com este par de fatores:
  • 6:

    Fique de olho em duas soluções para x. Se você trabalha muito rapidamente, poderá encontrar uma solução para o problema e não perceber que há um segundo. Veja como encontrar os dois valores X para linhas que se cruzam em dois pontos: Exemplo (Factoring): acabamos com a equação. Se um dos fatores entre parênteses for igual a 0, a equação será verdadeira. Uma solução é →. A outra solução é →. Exemplo (equação quadrática ou complete o quadrado): Se você usou um desses métodos para resolver sua equação, uma raiz quadrada será exibida. Por exemplo, nossa equação se torna. Lembre -se de que uma raiz quadrada pode simplificar para duas soluções diferentes: e. Escreva duas equações, uma para cada possibilidade e resolva para x em cada uma.

  • Exemplo (Factoring): Acabamos com a equação. Se um dos fatores entre parênteses for igual a 0, a equação será verdadeira. Uma solução é →. A outra solução é →.
  • Exemplo (equação quadrática ou complete o quadrado): se você usou um desses métodos para resolver sua equação, uma raiz quadrada será exibida. Por exemplo, nossa equação se torna. Lembre -se de que uma raiz quadrada pode simplificar para duas soluções diferentes: e. Escreva duas equações, uma para cada possibilidade e resolva para x em cada uma.
  • 7:

    Resolva problemas com uma ou zero soluções. Duas linhas que mal tocam apenas têm uma interseção e duas linhas que nunca tocam zero. Veja como reconhecer estes: uma solução: os problemas fatoram dois fatores idênticos ((X-1) (X-1) = 0). Quando conectado à fórmula quadrática, o termo da raiz quadrada é. Você só precisa resolver uma equação. Nenhuma solução real: não há fatores que atendam aos requisitos (somando o termo intermediário). Quando conectado à fórmula quadrática, você obtém um número negativo sob o sinal da raiz quadrada (como). Escreva “sem solução” como sua resposta.

  • Uma solução: os problemas fatoram dois fatores idênticos ((X-1) (X-1) = 0). Quando conectado à fórmula quadrática, o termo da raiz quadrada é. Você só precisa resolver uma equação.
  • Nenhuma solução real: não há fatores que atendam aos requisitos (somando o termo médio). Quando conectado à fórmula quadrática, você obtém um número negativo sob o sinal da raiz quadrada (como). Escreva “sem solução” como sua resposta.
  • 8:

    Conecte seus valores X de volta à equação original. Depois de ter o valor X do seu cruzamento, conecte-o novamente a uma das equações com as quais você começou. Resolva Y para encontrar o valor Y. Se você tiver um segundo valor X, repita para isso também. Exemplo: encontramos duas soluções e. Uma de nossas linhas tem a equação. Conecte e, em seguida, resolva cada equação para encontrar isso e.

  • Exemplo: encontramos duas soluções e. Uma de nossas linhas tem a equação. Conecte e, em seguida, resolva cada equação para encontrar isso e.
  • 9:

    Escreva as coordenadas de ponto. Agora escreva sua resposta em forma de coordenada, com o valor X e o valor y dos pontos de interseção. Se você tiver duas respostas, corresponda ao valor X correto a cada valor y. Exemplo: quando conectamos, conseguimos, então um cruzamento está em (2, 9). O mesmo processo para a nossa segunda solução nos diz que outro cruzamento está em (-3, 4).

  • Exemplo: quando conectamos, conseguimos, então um cruzamento está em (2, 9). O mesmo processo para nossa segunda solução nos diz que outro cruzamento está em (-3, 4).