Como Encontrar o Determinante de uma Matriz 3X3, olha isso

O determinante de uma matriz é freqüentemente usado em cálculo, álgebra linear e geometria avançada. Encontrar o determinante de uma matriz pode ser confuso no começo, mas fica mais fácil quando você faz isso algumas vezes.

Parte 1

1:

Escreva sua matriz 3 x 3. Começaremos com uma matriz 3 x 3 e tentaremos encontrar seu determinante | a |. Aqui está a notação da matriz geral que usaremos e nossa matriz de exemplo: [1]

  • 2:

    Escolha uma única linha ou coluna. Esta será sua linha ou coluna de referência. Você receberá a mesma resposta, independentemente de qual escolher. Por enquanto, basta escolher a primeira linha. Mais tarde, daremos alguns conselhos sobre como escolher a opção mais fácil de calcular. [2] Vamos escolher a primeira linha do nosso exemplo Matrix A. Circule o 1 5 3. Em termos gerais, Círculo A11 A12 A13.

  • Vamos escolher a primeira linha do nosso exemplo Matrix A. Circule o 1 5 3. Em termos gerais, Círculo A11 A12 A13.
  • 3:

    cruze a linha e a coluna do seu primeiro elemento. Olhe para a linha ou coluna que você circulou e selecione o primeiro elemento. Desenhe uma linha através de sua linha e coluna. Você deve ficar com quatro números. Vamos tratá -los como uma matriz 2 x 2. [3] Em nosso exemplo, nossa linha de referência é 1 5 3. O primeiro elemento está na linha 1 e na coluna 1. cruze toda a linha 1 e coluna 1. Escreva os elementos restantes como uma matriz 2 x 2: 1 5 3 2 4 7 4 6 2

  • Em nosso exemplo, nossa linha de referência é 1 5 3. O primeiro elemento está na linha 1 e na coluna 1. Atravesse toda a linha 1 e a coluna 1. Escreva os elementos restantes como uma matriz 2 x 2:
  • 1 5 3 2 4 7 4 6 2
  • 4:

    Encontre o determinante da matriz 2 x 2. Lembre -se, a matriz tem um determinante de ad – BC. Você pode ter aprendido isso desenhando um X na matriz 2 x 2. Multiplique os dois números conectados pelo X. Em seguida, subtraia o produto dos dois números conectados pelo /. Use esta fórmula para calcular o determinado da matriz que você acabou de encontrar. [4] Em nosso exemplo, o determinante da matriz = 4 * 2 – 7 * 6 = -34. Este determinante é chamado de menor do elemento que escolhemos em nossa matriz original. [5] Nesse caso, acabamos de encontrar o menor de A11.

  • Em nosso exemplo, o determinante da matriz = 4 * 2 – 7 * 6 = -34.
  • Este determinante é chamado de menor do elemento que escolhemos em nossa matriz original. [5] Nesse caso, acabamos de encontrar o menor de A11.
  • 5:

    Multiplique a resposta pelo elemento escolhido. Lembre -se de que você selecionou um elemento da sua linha de referência (ou coluna) quando decidiu qual linha e coluna cruzarem. Multiplique esse elemento pelo determinante que você acabou de calcular para a matriz 2×2. [6] Em nosso exemplo, selecionamos A11, que tinha um valor de 1. Multiplique isso por -34 (o determinante do 2×2) para obter 1*-34 = -34.

  • Em nosso exemplo, selecionamos A11, que tinha um valor de 1. Multiplique isso por -34 (o determinante do 2×2) para obter 1*-34 = -34.
  • 6:

    Determine o sinal da sua resposta. Em seguida, você multiplicará sua resposta por 1 ou por -1 para obter o cofator do seu elemento escolhido. Que você usa depende de onde o elemento foi colocado na matriz 3×3. Memorize este gráfico de sinal simples para rastrear qual elemento causa qual: + – + – + – + – + Como escolhemos A11, marcados com A +, multiplamos o número por +1. (Em outras palavras, deixe -o em paz.) A resposta ainda é -34. Como alternativa, você pode encontrar o sinal com a fórmula (-1) i+j, onde eu e j são a linha e a coluna do elemento. [7]

  • + – + – + – + – +
  • Como escolhemos A11, marcados com A +, multiplicamos o número por +1. (Em outras palavras, deixe em paz.) A resposta ainda é -34.
  • Como alternativa, você pode encontrar a placa com a fórmula (-1) i+j, onde eu e j são a linha e a coluna do elemento. [7]
  • 7:

    Repita esse processo para o segundo elemento em sua linha ou coluna de referência. Retorne à matriz 3×3 original, com a linha ou coluna que você circulou anteriormente. Repita o mesmo processo com este elemento: [8] cruze a linha e a coluna desse elemento. No nosso caso, selecione o elemento A12 (com um valor de 5). Atravesse a linha um (1 5 3) e a coluna dois. Trate os elementos restantes como uma matriz 2×2. Em nosso exemplo, a matriz é encontrar o determinante desta matriz 2×2. Use a fórmula AD – BC. (2*2 – 7*4 = -24) Multiplique pelo elemento escolhido da matriz 3×3. -24 * 5 = -120 Determine se deve multiplicar por -1. Use o gráfico de sinal ou a fórmula (-1) IJ. Escolhemos o elemento A12, que está – no gráfico de sinais. Devemos mudar o sinal de nossa resposta: (-1)*(-120) = 120.

  • Crite a linha e a coluna desse elemento. No nosso caso, selecione o elemento A12 (com um valor de 5). Cruze a linha um (1 5 3) e a coluna dois.
  • Trate os elementos restantes como uma matriz 2×2. No nosso exemplo, a matriz é
  • Encontre o determinante desta matriz 2×2. Use a fórmula AD – BC. (2*2 – 7*4 = -24)
  • Multiplique pelo elemento escolhido da matriz 3×3. -24 * 5 = -120
  • Determine se deve multiplicar em -1. Use o gráfico de sinal ou a fórmula (-1) IJ. Escolhemos o elemento A12, que está – no gráfico de sinais. Devemos mudar o sinal de nossa resposta: (-1)*(-120) = 120.
  • 8:

    Repita com o terceiro elemento. Você tem mais um cofator para encontrar. Calcule I para o terceiro termo em sua linha ou coluna de referência. Aqui está um rápido resumo de como você calcularia o cofator de A13 em nosso exemplo: cruzar a linha 1 e a coluna 3 para obter seu determinante é 2*6 – 4*4 = -4. Multiplique pelo elemento A13: -4 * 3 = -12. O elemento A13 está + no gráfico de sinais, então a resposta é -12.

  • cruze a linha 1 e a coluna 3 para obter
  • Seu determinante é 2*6 – 4*4 = -4.
  • Multiplique pelo elemento A13: -4 * 3 = -12.
  • O elemento A13 está + no gráfico de sinais, então a resposta é -12.
  • 9:

    Adicione seus três resultados juntos. Esta é a etapa final. Você calculou três cofatores, um para cada elemento em uma única linha ou coluna. Adicione -os juntos e você encontrou o determinante da matriz 3×3. Em nosso exemplo, o determinante é -34 + 120 + -12 = 74.

  • Em nosso exemplo, o determinante é -34 + 120 + -12 = 74.
  • Parte 2

    facilitando o problema

    1:

    Escolha a referência com mais zeros. Lembre -se, você pode escolher qualquer linha ou coluna como sua referência. Você receberá a mesma resposta, não importa o que escolher. Se você escolher uma linha ou coluna com zeros, precisará apenas calcular o cofator para os elementos diferentes de zero. Eis o porquê: [9] Digamos que você escolha linha 2, com elementos A21, A22 e A23. Para resolver esse problema, examinaremos três matrizes 2×2 diferentes. Vamos chamá -los de A21, A22 e A23. O determinante da matriz 3×3 é A21 | A21 | – A22 | A22 | + A23 | A23 |. Se os termos A22 e A23 forem 0, nossa fórmula se tornará A21 | A21 | – 0*| A22 | + 0*| A23 | = A21 | A21 | – 0 + 0 = A21 | A21 |. Agora só temos que calcular o cofator de um único elemento.

  • Digamos que você escolha a linha 2, com elementos A21, A22 e A23. Para resolver esse problema, examinaremos três matrizes 2×2 diferentes. Vamos chamá -los de A21, A22 e A23.
  • O determinante da matriz 3×3 é A21 | A21 | – A22 | A22 | + A23 | A23 |.
  • Se os termos A22 e A23 forem 0, nossa fórmula se tornará A21 | A21 | – 0*| A22 | + 0*| A23 | = A21 | A21 | – 0 + 0 = A21 | A21 |. Agora só temos que calcular o cofator de um único elemento.
  • 2:

    Use a adição de linha para facilitar a matriz. Se você pegar os valores de uma linha e adicioná -los a uma linha diferente, o determinante da matriz não muda. O mesmo se aplica às colunas. Você pode fazer isso repetidamente – ou multiplicar os valores por uma constante antes de adicionar – para obter o maior número possível de zeros na matriz. Isso pode economizar muito tempo. Por exemplo, digamos que você tenha uma matriz de 3 x 3: para cancelar o 9 na posição A11, podemos multiplicar a segunda linha por -3 e adicionar o resultado ao primeiro. A nova primeira linha é [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2]. A nova matriz é tentar usar o mesmo truque com colunas para transformar A12 em 0 também.

  • Por exemplo, diga que você tem uma matriz de 3 x 3:
  • Para cancelar o 9 na posição A11, podemos multiplicar a segunda linha por -3 e adicionar o resultado ao primeiro. A nova primeira linha é [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
  • A nova matriz é tentar usar o mesmo truque com colunas para transformar A12 em 0 também.
  • 3:

    Aprenda o atalho para matrizes triangulares. Nesses casos especiais, o determinante é simplesmente o produto dos elementos ao longo da diagonal principal, de A11 no canto superior esquerdo para A33 no canto inferior direito. Ainda estamos falando de matrizes 3×3, mas as “triangulares” têm padrões especiais de valores diferentes de zero: [10] Matriz triangular superior: todos os elementos diferentes de zero estão dentro ou acima da diagonal principal. Tudo abaixo está zero. Matriz triangular inferior: Todos os elementos diferentes de zero estão subindo ou abaixo da diagonal principal. Matriz diagonal: Todos os elementos diferentes de zero estão na diagonal principal. (Um subconjunto do exposto acima.) Você pode usar o método de menores ou as operações da linha elementar para encontrar o inverso de uma matriz de 3 x 3. [11] Se você usar o último método para encontrar o inverso de uma matriz A, comece configurando a fórmula [a | EU]. Onde eu é a matriz de identidade 3 x 3. [12] Em seguida, use operações de linha elementar para reduzir o lado esquerdo da fórmula para I. A fórmula resultante será [i | A-1], onde A-1 é o inverso de A. [13]

  • Matriz triangular superior: Todos os elementos diferentes de zero estão no ou acima da diagonal principal. Tudo abaixo está zero.
  • Matriz triangular inferior: todos os elementos diferentes de zero estão no ou abaixo da diagonal principal.
  • Matriz diagonal: Todos os elementos diferentes de zero estão na diagonal principal. (Um subconjunto do exposto acima.)
  • Você pode usar o método de menores ou as operações de linha elementar para encontrar o inverso de uma matriz de 3 x 3. [11]
  • Se você usar o último método para encontrar o inverso de uma matriz A, comece configurando a fórmula [a | EU]. Onde eu é a matriz de identidade 3 x 3. [12]
  • Então, use operações de linha elementar para reduzir o lado esquerdo da fórmula para I. A fórmula resultante será [i | A-1], onde A-1 é o inverso de A. [13]