Frações complexas são frações nas quais o numerador, o denominador ou ambos contêm frações. Por esse motivo, as frações complexas às vezes são chamadas de “frações empilhadas”. [1] A simplificação de frações complexas é um processo que pode variar de fácil a difícil, com base em quantos termos estão presentes no numerador e denominador, se algum dos termos são variáveis e, nesse caso, a complexidade dos termos variáveis. Veja a etapa 1 abaixo para começar!
Método 1
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Se necessário, simplifique o numerador e o denominador em frações únicas. Frações complexas não são necessariamente difíceis de resolver. De fato, frações complexas nas quais o numerador e o denominador contêm uma única fração geralmente são bastante fáceis de resolver. Portanto, se o numerador ou denominador de sua fração complexa (ou ambos) contiver várias frações ou frações e números inteiros, simplifique conforme necessário para obter uma única fração no numerador e no denominador. Isso pode exigir encontrar o denominador menos comum (LCM) de duas ou mais frações. [2] Por exemplo, digamos que queremos simplificar a fração complexa (3/5 + 2/15)/(5/7 – 3/10). Primeiro, simplificaríamos o numerador e o denominador de nossa fração complexa para frações únicas. Para simplificar o numerador, usaremos um LCM de 15 multiplicando 3/5 por 3/3. Nosso numerador se torna 9/15 + 2/15, que é igual a 11/15. Para simplificar o denominador, usaremos um LCM de 70 multiplicando 5/7 por 10/10 e 3/10 por 7/7. Nosso denominador se torna 50/70 – 21/70, que é igual a 29/70. Assim, nossa nova fração complexa é (15/15)/(29/70).
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Vire o denominador para encontrar seu inverso. Por definição, dividir um número por outro é o mesmo que multiplicar o primeiro número pelo inverso do segundo. Agora que obtivemos uma fração complexa com uma única fração no numerador e no denominador, podemos usar essa propriedade de divisão para simplificar nossa fração complexa! Primeiro, encontre o inverso da fração no fundo da fração complexa. Faça isso “lançando” a fração – definindo seu numerador no local do denominador e vice -versa. Em nosso exemplo, a fração no denominador da fração complexa (11/15)/(29/70) é 29/70. Para encontrar o seu inverso, simplesmente “giramos” para obter 70/29. Observe que, se sua fração complexa tiver um número inteiro em seu denominador, você poderá tratá -lo como uma fração e encontrar seu inverso da mesma forma. Por exemplo, se nossa fração complexa foi (15/15)/(29), podemos definir o denominador como 29/1, o que torna seu inverso 1/29.
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multiplique o numerador da fração complexa pelo inverso do denominador. Agora que você obteve o inverso do denominador da sua fração complexa, multiplique -o pelo numerador para obter uma única fração simples! Lembre -se de que, para multiplicar duas frações, simplesmente multiplicamos – o numerador da nova fração é o produto dos numeradores dos dois antigos e da mesma forma com o denominador. [3] Em nosso exemplo, multiplicaríamos 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 e 15 × 29 = 435. Então, nossa nova fração simples é 770/435.
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Simplifique a nova fração, encontrando o maior fator comum. Agora temos uma fração simples e simples, então tudo o que resta é renderizá -la nos termos mais simples possíveis. Encontre o maior fator comum (GCF) do numerador e denominador e divida ambos por esse número para simplificar. Um fator comum de 770 e 435 é 5. Portanto, se dividirmos o numerador e o denominador de nossa fração por 5, obtemos 154/87. 154 e 87 não têm fatores comuns, então sabemos que encontramos nossa resposta final!
Método 2
Simplificando frações complexas contendo termos variáveis
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Quando possível, use o método de multiplicação inversa acima. Para ser claro, praticamente qualquer fração complexa pode ser simplificada reduzindo seu numerador e denominador para frações únicas e multiplicando o numerador pelo inverso do denominador. Frações complexas que contêm variáveis não são exceção, porém, quanto mais complicadas as expressões variáveis na fração complexa são, mais difíceis e demoradas é usar multiplicação inversa. [4] Para frações complexas “fáceis” contendo variáveis, a multiplicação inversa é uma boa escolha, mas frações complexas com vários termos variáveis no numerador e denominador podem ser mais fáceis de simplificar com o método alternativo descrito abaixo. Por exemplo, (1/x)/(x/6) é fácil de simplificar com multiplicação inversa. 1/x × 6/x = 6/x2. Aqui, não há necessidade de usar um método alternativo. No entanto, (((1)/(x +3)) +x – 10)/(x +4 +((1)/(x – 5)) é mais difícil de simplificar com a multiplicação inversa. Reduzir o numerador e o denominador desta fração complexa para frações únicas, multiplicação inversa e redução do resultado para termos mais simples provavelmente será um processo complicado. Nesse caso, o método alternativo abaixo pode ser mais fácil.
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Se a multiplicação inversa for impraticável, comece encontrando o menor denominador comum dos termos fracionários na fração complexa. A primeira etapa desse método alternativo de simplificação é encontrar o LCD de todos os termos fracionários da fração complexa – tanto em seu numerador quanto em seu denominador. Geralmente, se um ou mais dos termos fracionários têm variáveis em seus denominadores, seu LCD é apenas o produto de seus denominadores. Isso é mais fácil de entender com um exemplo. Vamos tentar simplificar a fração complexa mencionada acima, (((1)/(x +3)) +x – 10)/(x +4 +((1)/(x – 5))). Os termos fracionários nesta fração complexa são (1)/(x+3) e (1)/(X-5). O denominador comum dessas duas frações é o produto de seus denominadores: (x+3) (X-5).
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Multiplique o numerador da fração complexa pelo LCD que você acabou de encontrar. Em seguida, precisaremos multiplicar os termos em nossa fração complexa pelo LCD de seus termos fracionários. Em outras palavras, multiplicaremos toda a fração complexa por (LCD)/(LCD). Podemos fazer isso livremente porque (LCD)/(LCD) é igual a 1. Primeiro, multiplique o numerador por conta própria. [5] Em nosso exemplo, multiplicaríamos nossa fração complexa (((1)/(x +3)) +x – 10)/(x +4 +((1)/(x – 5)), por (( x+3) (X-5))/((x+3) (X-5)). Teremos que multiplicar através do numerador e denominador da fração complexa, multiplicando cada termo por (x+3) (X-5). Primeiro, vamos multiplicar o numerador: (((1)/(x+3))+x-10) × (x+3) (x-5) = (((x+3) (x-5)/( x+3))+x ((x+3) (x -5)) – 10 ((x+3) (x -5)) = (x -5)+(x (x2 – 2x – 15)) – (10 (x2 – 2x – 15)) = (x -5) + (x3 – 2×2 – 15x) – (10×2 – 20x – 150) = (x -5) + x3 – 12×2 + 5x + 150 = x3 – 12×2 + 6x + 145
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Multiplique o denominador da fração complexa pelo LCD, como você fez com o numerador. Continue multiplicando a fração complexa pelo LCD que você encontrou prosseguindo para o denominador. Multiplicar através, multiplicando todos os termos pelo LCD. [6] O denominador de nossa fração complexa, (((1)/(x +3)) +x – 10)/(x +4 +((1)/(x – 5))), é x +4 +(( 1)/(X-5)). Vamos multiplicar isso pelo LCD que encontramos (x+3) (X-5). (x +4 +((1)/(x-5)) × (x +3) (x-5) = x ((x +3) (x-5)) +4 ((x +3) (X-5)) + (1/(X-5)) (x + 3) (X-5). = x (x2 – 2x – 15) + 4 (x2 – 2x – 15) + ((x + 3) (x -5))/(x -5) = x3 – 2×2 – 15x + 4×2 – 8x – 60 + (x + 3) = x3 + 2×2 – 23x – 60 + (x + 3) = x3 + 2×2 – 22x – 57
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Forme uma fração nova e simplificada do numerador e denominador que você acabou de encontrar. Depois de multiplicar sua fração pela expressão (LCD)/(LCD) e simplificar, combinando termos semelhantes, você deve ficar com uma fração simples que não contém termos fracionários. Como você deve ter notado, multiplicando pelo LCD dos termos fracionários da fração complexa original, os denominadores dessas frações cancelam, deixando termos variáveis e números inteiros no numerador e denominador de sua resposta, mas sem frações. Usando o numerador e o denominador que encontramos acima, podemos construir uma fração igual à nossa fração complexa inicial, mas que não contém termos fracionários. O numerador que obtivemos foi x3 – 12×2 + 6x + 145 e o denominador era x3 + 2×2 – 22x – 57, então nossa nova fração é (x3 – 12×2 + 6x + 145)/(x3 + 2×2 – 22x – 57)