O teorema de Pitagoria descreve os comprimentos dos lados de um triângulo direito de uma maneira que é tão elegante e prática que o teorema ainda é amplamente utilizado hoje. O teorema afirma que, para qualquer triângulo certo, a soma dos quadrados dos lados não-hipótese é igual ao quadrado da hipotenusa. Em outras palavras, para um triângulo direito com lados perpendiculares do comprimento A e B e hipotenusa do comprimento C, A2 + B2 = C2. O teorema pitagórico é um dos pilares fundamentais da geometria básica, com inúmeras aplicações práticas – usando o teorema, por exemplo, é fácil encontrar a distância entre dois pontos em um plano de coordenadas.
Método 1
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Verifique se o seu triângulo é um triângulo certo. O teorema pitagórico é aplicável apenas aos triângulos corretos; portanto, antes de prosseguir, é importante garantir que seu triângulo se encaixe na definição de um triângulo certo. Felizmente, existe apenas um fator de qualificação – para ser um triângulo certo, seu triângulo deve conter um ângulo de exatamente 90 graus. [1] Como uma forma de abreviação visual, os ângulos retos são frequentemente marcados com um pequeno quadrado, em vez de uma “curva” arredondada, para identificá -los como tal. Procure esta marca especial em um dos cantos do seu triângulo.
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Atribua as variáveis A, B e C aos lados do seu triângulo. No teorema pitagórico, as variáveis A e B se referem aos lados que se encontram em um ângulo reto, enquanto a variável C refere -se à hipotenusa – o lado mais longo que é sempre oposto ao ângulo reto. Portanto, para começar, atribua os lados mais curtos do seu triângulo As variáveis A e B (não importa qual lado é rotulado como ‘a’ ou ‘b’) e atribua a hipotenusa a variável c. [2]
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Determine qual lado (s) do triângulo você está resolvendo. O teorema pitagórico permite que os matemáticos encontrem o comprimento de qualquer um dos lados de um triângulo direito, desde que saibam o comprimento dos outros dois lados. Determine qual dos seus lados tem um comprimento desconhecido – a, b e/ou c. Se o comprimento de apenas um dos seus lados for desconhecido, você estará pronto para prosseguir. [3] Digamos, por exemplo, que sabemos que nossa hipotenusa tem um comprimento de 5 e um dos outros lados tem um comprimento de 3, mas não temos certeza de qual é a duração do terceiro lado. Nesse caso, sabemos que estamos resolvendo a duração do terceiro lado e, porque sabemos o comprimento dos outros dois, estamos prontos para ir! Voltaremos a este exemplo de problema nas etapas a seguir. Se os comprimentos de dois lados forem desconhecidos, você precisará determinar o comprimento de mais um lado para usar o teorema de Pitagorean. As funções básicas de trigonometria podem ajudá-lo aqui se você souber um dos ângulos não à direita no triângulo.
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Conecte seus dois valores conhecidos à equação. Insira seus valores para os comprimentos dos lados do seu triângulo na equação A2 + B2 = C2. Lembre -se de que A e B são os lados sem hipotenusa, enquanto C é a hipotenusa. [4] Em nosso exemplo, sabemos o comprimento de um lado e a hipotenusa (3 e 5), para que escrevamos nossa equação como 3² + b² = 5²
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Calcule os quadrados. Para resolver sua equação, comece pegando o quadrado de cada um de seus lados conhecidos. Como alternativa, se você achar mais fácil, poderá deixar seus comprimentos laterais no formulário de expoente e depois os encaixe mais tarde. [5] Em nosso exemplo, nós quadramos 3 e 5 para obter 9 e 25, respectivamente. Podemos reescrever nossa equação como 9 + b² = 25.
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Isole sua variável desconhecida em um lado do sinal igual. Se necessário, use operações básicas de álgebra para obter sua variável desconhecida em um lado do sinal igual e seus dois quadrados do outro lado do sinal igual. Se você está resolvendo a hipotenusa, C já estará isolado, então não precisará fazer nada para isolá -lo. [6] Em nosso exemplo, nossa equação atual é 9 + b² = 25. Para isolar b², vamos subtrair 9 de ambos os lados da equação. Isso nos deixa com b² = 16.
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Pegue a raiz quadrada de ambos os lados da equação. Agora você deve ficar com uma variável quadrada em um lado da equação e um número do outro lado. Basta levar a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar o comprimento do seu lado desconhecido. [7] Em nosso exemplo, b² = 16, tomando a raiz quadrada de ambos os lados nos dá b = 4. Assim, podemos dizer que o comprimento do lado desconhecido do nosso triângulo é 4.
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Use o teorema de Pitagoria para encontrar os lados dos triângulos certos do mundo real. A razão pela qual o teorema de Pitagoria é tão amplamente utilizado hoje é que ele é aplicável em inúmeras situações práticas. Aprenda a reconhecer os triângulos certos na vida real – em qualquer situação em que dois objetos ou linhas retas se encontrem em um ângulo reto e uma terceira linha ou objeto se estenda na diagonal em frente ao ângulo reto, você pode usar o teorema de Pitagoros para encontrar o comprimento de um de um de um de os lados, dada o comprimento dos outros dois. [8] Vamos tentar um exemplo do mundo real que é um pouco mais difícil. Uma escada está encostada em um prédio. A base da escada fica a 5 metros (16,4 pés) do fundo da parede. A escada atinge 20 metros (65,6 pés) na parede do edifício. Quanto tempo dura a escada? “5 metros (16,4 pés) da parte inferior da parede” e “20 metros (65,6 pés) na parede” nos dão nos comprimentos dos lados do nosso triângulo. Como a parede e o chão (presumivelmente) se encontram em um ângulo reto e a escada se inclina na diagonal contra a parede, podemos pensar nesse arranjo como um triângulo direito com os lados do comprimento A = 5 e B = 20. O comprimento da escada é a hipotenusa, então C é o nosso desconhecido. Vamos usar o teorema do Pitagorino: a² + b² = c² (5) ² + (20) ² = c² 25 + 400 = c² 425 = c² Sqrt (425) = c c = 20,6. O comprimento aproximado da escada é de 20,6 metros (67,6 pés).
Método 2
Calculando a distância entre dois pontos em um plano x-y
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Defina dois pontos no plano X-Y. O teorema pitagórico pode ser facilmente usado para calcular a distância linear entre dois pontos no plano X-Y. Tudo o que você precisa saber são as coordenadas X e Y de dois pontos. Geralmente, essas coordenadas são escritas como pares ordenados na forma (x, y). [9] Para encontrar a distância entre esses dois pontos, trataremos cada ponto como um dos cantos do ângulo não-direito de um triângulo direito. Ao fazer isso, é fácil encontrar o comprimento dos lados A e B e calcular C, a hipotenusa, que é a distância entre os dois pontos.
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Plote seus dois pontos em um gráfico. Em um plano x-y típico, para cada ponto (x, y), x fornece uma coordenada no eixo horizontal e y dá uma coordenada no eixo vertical. Você pode encontrar a distância entre os dois pontos sem plotá -los em um gráfico, mas isso fornece uma referência visual que você pode usar para garantir que sua resposta faça sentido. [10]
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Encontre os comprimentos dos lados não-hipotenusos do seu triângulo. Usando seus dois pontos como cantos do triângulo adjacente à hipotenusa, encontre os comprimentos dos lados A e B do triângulo. Você pode fazer isso visualmente no gráfico ou usando as fórmulas | x1 – x2 | para o lado horizontal e | y1 – y2 | Para o lado vertical, onde (x1, y1) é o seu primeiro ponto e (x2, y2) é o seu segundo. [11] Digamos que nossos dois pontos sejam (6,1) e (3,5). O comprimento lateral do lado horizontal do nosso triângulo é: | x1 – x2 | | 3 – 6 | | -3 | = 3 O comprimento do lado vertical é: | y1 – y2 | | 1 – 5 | | -4 | = 4 Então, podemos dizer que em nosso triângulo direito, lado a = 3 e lado b = 4.
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Use o teorema de Pitagoria para resolver a hipotenusa. A distância entre seus dois pontos é a hipotenusa do triângulo cujos dois lados você acabou de definir. Use o teorema pitagórico, como normalmente encontraria a hipotenusa, definindo A como o comprimento do seu primeiro lado e B como o comprimento do segundo. [12] Em nosso exemplo usando pontos (3,5) e (6,1), nossos comprimentos laterais são 3 e 4, então encontraríamos a hipotenusa da seguinte forma: (3) ²+(4) ² = c² C = Sqrt (9 +16) c = sqrt (25) c = 5. A distância entre (3,5) e (6,1) é 5.