O derivado é um operador que encontra a taxa instantânea de alteração de uma quantidade, geralmente uma inclinação. Os derivativos podem ser usados para obter características úteis sobre uma função, como seus extremos e raízes. Encontrar o derivado de sua definição pode ser tedioso, mas existem muitas técnicas para ignorar isso e encontrar derivados mais facilmente.
Método 1
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Entenda a definição do derivado. Embora isso quase nunca seja usado para realmente tomar derivados, o entendimento desse conceito é vital, no entanto. [1] Lembre -se de que a função linear é do formulário para encontrar a inclinação dessa função, dois pontos na linha são tomados e suas coordenadas estão conectadas à relação, é claro, isso só pode ser usado com gráficos lineares. Para funções não lineares, a linha será curvada; portanto, levar a diferença de dois pontos só pode dar a taxa média de alteração entre eles. A linha que cruza esses dois pontos é chamada de linha secante, com uma inclinação onde é a mudança e substituímos essa é a mesma equação que a anterior. O conceito de derivados entra quando tomamos o limite quando isso acontece, a distância entre os dois pontos diminui e a linha secante se aproxima melhor a taxa de mudança da função. Quando enviamos o limite para 0, acabamos com a taxa instantânea de mudança e obtemos a inclinação da linha tangente para a curva (veja a animação acima). [2] Em seguida, acabamos com a definição do derivado, onde o símbolo principal denota o derivado da função que encontra o derivado dessa definição decorre de expandir o numerador, cancelar e avaliar o limite, pois avaliar imediatamente o limite dará um um 0 no denominador.
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Entenda a notação derivada. Existem duas anotações comuns para o derivado, embora existam outras. [3] Notação de Lagrange. Na etapa anterior, usamos essa notação para denotar a derivada de uma função adicionando um símbolo primário. Essa notação é pronunciada “Prime de” para formar derivados de ordem superior, basta adicionar outro símbolo principal. Quando os derivados da quarta ou maior ordem são obtidos, a notação se torna onde isso representa a quarta derivada. Notação de Leibniz. Essa é a outra notação comumente usada, e nós a usaremos no restante do artigo. (Para expressões mais curtas, a função pode ser colocada no numerador.) Essa notação significa literalmente “o derivado do que” pode ser útil pensar nisso como os valores e que são infinitesimalmente diferentes um do outro. Ao usar essa notação para derivados mais altos, você deve escrever onde isso representa o segundo derivado. (Observe que “deveria” haver parênteses no denominador, mas ninguém os escreve, já que todo mundo entende o que queremos dizer sem eles.)
Método 2
Técnicas básicas
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substitua a função. Para este exemplo, definiremos
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Substitua a função no limite. Em seguida, avalie o limite. Isso é muito trabalho para uma função tão simples. Veremos que existem muitas regras derivadas para passar por esse tipo de avaliação. Você pode encontrar a inclinação em qualquer lugar da função, basta conectar qualquer valor x ao derivado
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Use a regra de potência [4] Quando é uma função polinomial do grau n. Multiplique o expoente com o coeficiente e reduza o poder por um. A fórmula é que, embora o método intuitivo pareça se aplicar apenas a expoentes de números naturais, ele pode ser generalizado para todos os números reais; isto é,
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Use o exemplo anterior. Lembre -se de que usamos a propriedade de que o derivado de uma soma é a soma dos derivados (tecnicamente, a razão pela qual podemos fazer isso é porque o derivado é um operador linear). Obviamente, a regra de poder facilita muito a localização de derivados de polinômios. Antes de continuar, é importante observar que o derivado de uma constante é 0, porque o derivado mede a taxa de mudança, e nenhuma mudança existe com uma constante.
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diferenciar novamente. Tomar um derivado de ordem superior de uma função significa apenas que você pega a derivada da derivada (para a ordem de 2). Por exemplo, se ele solicitar que você pegue o terceiro derivado, apenas diferencie a função três vezes. [5] Para funções polinomiais de grau, o derivado da ordem será 0.
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Tome a terceira derivada do exemplo anterior. Na maioria das aplicações de derivados, especialmente em física e engenharia, você, na maioria das vezes, diferenciará duas vezes, ou talvez três vezes.
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Veja este artigo para obter um tratamento completo na regra do produto. Em geral, o derivado de um produto não é igual ao produto dos derivados. Em vez disso, cada função “recebe sua vez” para se diferenciar.
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Use a regra do quociente para tomar derivados de funções racionais. Como nos produtos em geral, o derivado de um quociente não é igual ao quociente dos derivados. [6] Um mnemônico útil para o numerador da derivada é “descendente, up-dee-down”, já que o sinal de menos significa que a ordem é importante. Por exemplo, considere a função Let e, em seguida, use a regra do quociente. Certifique -se de que sua álgebra esteja à altura. Derivados envolvendo quocientes como esses podem se tornar rapidamente pesados em termos de álgebra envolvidos. Isso significa que você deve se sentir confortável em levar em consideração constantes e acompanhar sinais negativos.
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Use a regra da cadeia [7] para funções aninhadas. Por exemplo, considere o cenário de onde é uma função diferenciável e é uma função diferenciável, então há uma função composta ou em função disso, podemos tomar o derivado de. Como na regra do produto, isso funciona com qualquer número de funções; Daí a regra de “cadeia”. Aqui, uma maneira fácil de ver como isso funciona se alguém imagina um inserido entre
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Considere a função. Observe que essa função pode ser decomposta em duas funções elementares e, em seguida, queremos encontrar o derivado da composição que usa a regra da cadeia que agora escrevemos a derivada em termos de derivados que são mais fáceis de tomar. Então, com a prática, você verá que a aplicação da regra da cadeia é mais fácil se você “retirar a cebola”. A primeira camada é tudo dentro dos parênteses, em cubos. A segunda camada é a função dentro dos parênteses. Ao lidar com funções mais complexas, esse modo de pensar ajuda a se manter no caminho certo e não se perder em quais funções são tomadas em relação a quais variáveis, etc.
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Veja este artigo para um tratamento completo sobre diferenciação implícita. Compreender a regra da cadeia é uma obrigação para diferenciar implicitamente.
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Veja este artigo para obter um tratamento completo sobre funções exponenciais diferenciadoras.
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Memorize derivados trigonométricos básicos e como derivá -los. [8]
Método 3
Usando uma calculadora
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Pressione Alpha F2. Isso abrirá a tecla “Window”, onde você verá muitas opções. Role até a guia Func, se você ainda não estiver lá. [9] Essas instruções são para novos modelos do TI-84 e do Ti-84 Plus. Os modelos mais antigos podem ser um pouco diferentes.
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Selecione nderiv (. É a terceira opção da lista. Quando você chegar, pode pressionar “Enter” para selecioná -la. [10]
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Digite sua fórmula na equação. Quando você atinge a opção derivada, sua calculadora fornecerá uma equação em branco que se parece com a seguinte :. Vá em frente e insira seus números específicos na equação. [11] Por exemplo, se você estivesse encontrando o derivado da função em que entraria. Se você tiver uma equação plotada nas parcelas y da sua calculadora, você pode inseri-las em um campo em branco pressionando vars> y-varars> função.
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Pressione “Enter” para encontrar o derivado. Depois de inserir todos os seus números, você pode selecionar “ENTER” na sua calculadora para obter sua resposta. Ele (espero) lhe dará sua resposta em um número inteiro fácil de entender. [12] Por exemplo, na equação acima, o derivado é 4.