Enquanto a visão intimidadora de um símbolo da raiz quadrada pode fazer com que os problemas de raiz quadrada não sejam tão difíceis de resolver quanto parecem primeiro. Problemas simples de raiz quadrada geralmente podem ser resolvidos tão facilmente quanto os problemas básicos de multiplicação e divisão. Problemas de raiz quadrada mais complexos, por outro lado, podem exigir algum trabalho, mas com a abordagem correta, mesmo isso pode ser fácil. Comece a praticar problemas de raiz quadrada hoje para aprender essa nova habilidade de matemática radical!
Parte 1
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quadrado um número multiplicando -o por si só. Para entender as raízes quadradas, é melhor começar com quadrados. Os quadrados são fáceis – pegar o quadrado de um número é apenas multiplicando por si mesmo. [1] Por exemplo, 3 quadrado é o mesmo que 3 × 3 = 9 e 9 ao quadrado é o mesmo que 9 × 9 = 81. Os quadrados são escritos marcando um pequeno “2” acima e à direita do número que está sendo quadrado – como este : 32, 92, 1002 e assim por diante. [2] Tente iniciar mais alguns números por conta própria para testar esse conceito. Lembre -se, quadrando um número está apenas multiplicando -o por si só. Você pode até fazer isso para números negativos. Se o fizer, a resposta sempre será positiva. Por exemplo, (-8) 2 = -8 × -8 = 64.
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Para raízes quadradas, encontre o “reverso” de um quadrado. O símbolo da raiz quadrada (√, também chamada de símbolo “radical”) significa basicamente o “oposto” do símbolo 2. Quando você vê um radical, deseja se perguntar: “Que número pode se multiplicar por si mesmo para dar o número sob o radical?” [3] Por exemplo, se você vê √ (9), deseja encontrar o número que pode ser ao quadrado para fazer nove. Nesse caso, a resposta é três, porque 32 = 9. [4] Como outro exemplo, vamos encontrar a raiz quadrada de 25 (√ (25)). Isso significa que queremos encontrar o número que os quadrados produzem 25. Como 52 = 5 × 5 = 25, podemos dizer que √ (25) = 5. Você também pode pensar nisso como “desfazer” um quadrado. Por exemplo, se queremos encontrar √ (64), a raiz quadrada de 64, vamos começar pensando em 64 como 82. Como um símbolo da raiz quadrada basicamente “cancela” um quadrado, podemos dizer que √ ( 64) = √ (82) = 8.
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Saiba a diferença entre quadrados perfeitos e imperfeitos. Até agora, as respostas para nossos problemas de raiz quadrada têm sido agradáveis, números redondos. Esse nem sempre é o caso – de fato, os problemas de raiz quadrada às vezes podem ter respostas que são decimais muito longas e inconvenientes. [5] Os números que têm raízes quadradas que são números inteiros (em outras palavras, números que não são frações ou decimais) são chamados de quadrados perfeitos. Todos os exemplos listados acima (9, 25 e 64) são quadrados perfeitos, porque quando tomamos suas raízes quadradas, obtemos números inteiros (3, 5 e 8). Por outro lado, números que não dão números inteiros quando você pega suas raízes quadradas são chamadas de quadrados imperfeitos. Quando você pega uma desses números, as raízes quadradas, geralmente recebe uma decimal ou fração. Às vezes, os decimais envolvidos podem ser bastante confusos. Por exemplo, √ (13) = 3.605551275464 …
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Memorize os primeiros 10-12 quadrados perfeitos. Como você provavelmente notou, pegar a raiz quadrada dos quadrados perfeitos pode ser bastante fácil! Como esses problemas são tão simples, vale a pena memorizar as raízes quadradas das primeiras dezenas de quadrados perfeitos. Você encontrará muito esses números, por isso, dedicar um tempo para aprendê -los mais cedo pode economizar muito tempo a longo prazo. Os primeiros 12 quadrados perfeitos são: [6] 12 = 1 × 1 = 1 22 = 2 × 2 = 4 32 = 3 × 3 = 9 42 = 4 × 4 = 16 52 = 5 × 5 = 25 62 = 6 × 6 = 36 72 = 7 × 7 = 49 82 = 8 × 8 = 64 92 = 9 × 9 = 81 102 = 10 × 10 = 100 112 = 11 × 11 = 121 122 = 12 × 12 = 144
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Simplifique as raízes quadradas removendo quadrados perfeitos, quando possível. Encontrar as raízes quadradas dos quadrados imperfeitos às vezes pode ser um pouco de dor – especialmente se você não estiver usando uma calculadora (nas seções abaixo, você encontrará truques para facilitar esse processo). No entanto, geralmente é possível simplificar os números em raízes quadradas para facilitar o trabalho. [7] Para fazer isso, você simplesmente precisa separar o número sob o radical em seus fatores e, em seguida, pegue a raiz quadrada de quaisquer fatores que sejam quadrados perfeitos e escreva a resposta fora do radical. Isso é mais fácil do que parece – continue lendo para obter mais informações! [8] Digamos que queremos encontrar a raiz quadrada de 900. À primeira vista, isso parece muito difícil! No entanto, não é difícil se separarmos 900 em seus fatores. Os fatores são os números que podem se multiplicar para fazer outro número. Por exemplo, como você pode fazer 6 multiplicando 1 × 6 e 2 × 3, os fatores de 6 são 1, 2, 3 e 6. Em vez de trabalhar com o número 900, o que é um pouco estranho, vamos escrever 900 como 9 × 100. Agora, desde 9, que é um quadrado perfeito, está separado de 100, podemos pegar sua raiz quadrada por conta própria. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Em outras palavras, √ (900) = 3√ (100). Podemos até simplificar essas duas etapas dividindo 100 nos fatores 25 e 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Então, podemos sermos Diga que √ (900) = 3 (10) = 30.
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Use números imaginários para as raízes quadradas de números negativos. Pense -que número em si é igual a -16? Não é 4 ou -4 -ao quadro de um deles dá positivo 16. Desista? De fato, não há uma maneira de escrever a raiz quadrada de -16 ou qualquer outro número negativo com números comuns. Nesses casos, precisamos substituir números imaginários (geralmente na forma de letras ou símbolos) para substituir a raiz quadrada do número negativo. Por exemplo, a variável “I” geralmente é usada para a raiz quadrada de -1. Como regra geral, a raiz quadrada de um número negativo sempre será um número imaginário (ou incluirá um). Observe que, embora os números imaginários não possam ser representados com dígitos comuns, eles ainda podem ser tratados como números comuns de várias maneiras. Por exemplo, as raízes quadradas de números negativos podem ser quadrados para fornecer esses números negativos, como qualquer outra raiz quadrada. Por exemplo, i2 = -1
Parte 2
Usando algoritmos longos no estilo de divisão
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Organize seu problema de raiz quadrada como um problema de divisão longa. Embora possa ser um pouco demorado, é possível resolver as raízes quadradas de quadrados imperfeitos difíceis sem uma calculadora. Para fazer isso, usaremos um método de solução (ou algoritmo) que é semelhante – mas não exatamente o mesmo – como uma divisão longa básica. [9] Comece escrevendo seu problema de raiz quadrada no mesmo que um problema de divisão longa. Por exemplo, digamos que queremos encontrar a raiz quadrada de 6,45, o que definitivamente não é um quadrado perfeito conveniente. Primeiro, escrevemos um símbolo radical comum (√), então escrevemos nosso número embaixo dele. Em seguida, fazemos uma linha acima do nosso número para que ele esteja em uma pequena “caixa” – assim como em Long Division. Quando fizemos, devemos ter um símbolo “√” de cauda longa com 6.45 escritos sob ele. Estamos escrevendo números acima do nosso problema, por isso não deixe de deixar espaço.
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Grupo dígitos em pares. Para começar a resolver seu problema, agrupe os dígitos do número sob o sinal radical em pares, começando no ponto decimal. Você pode querer fazer pequenas notas (como pontos, barras, vírgulas etc.) entre seus pares para acompanhá -los. Em nosso exemplo, dividiríamos 6.45 em pares como este: 6-.45-00. Observe que há um dígito “restante” à esquerda – tudo bem.
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Encontre o maior número cujo quadrado é menor ou igual ao primeiro “grupo”. Comece com o primeiro número ou par à esquerda. Escolha o maior número com um quadrado menor ou igual ao “grupo”. Por exemplo, se o grupo tivesse 37 anos, você escolheria 6, porque 62 = 36 <37, mas 72 = 49> 37. Escreva esse número acima do primeiro grupo. Este é o primeiro dígito da sua resposta. Em nosso exemplo, o primeiro grupo em 6-45-00 é 6. O maior número que é menor ou igual a 6 quando o quadrado é 2-22 = 4. Escreva um “2” acima dos 6 sob o radical.
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O dobro do número que você acabou de escrever, depois solte -o e subtrai -lo. Pegue o primeiro dígito da sua resposta (o número que você acabou de encontrar) e o dobro. Escreva isso embaixo do seu primeiro grupo e subtraia para encontrar a diferença. Desça o próximo par de números ao lado da resposta. Por fim, escreva o último dígito do duplo do primeiro dígito da sua resposta à esquerda e deixe um espaço ao lado. [10] Em nosso exemplo, começaríamos tomando o dobro de 2, o primeiro dígito de nossa resposta. 2 × 2 = 4. Em seguida, subtraímos 4 de 6 (nosso primeiro “grupo”), recebendo 2 como resposta. Em seguida, desceríamos o próximo grupo (45) para obter 245. Finalmente, escrevemos 4 mais uma vez à esquerda, deixando um pequeno espaço para adicionar ao final, assim: 4 _.
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Preencha o espaço vazio. Em seguida, você deseja adicionar um dígito ao lado direito do número que você escreveu à esquerda. Escolha o dígito que se multiplica com seu novo número para ser o mais grande possível, mas ainda menor ou igual ao número “desativado”. Por exemplo, se o seu número “desativado” for 1700 e seu número à esquerda for 40_, você preencheria o espaço em branco com “4” porque 404 × 4 = 1616 <1700, enquanto 405 × 5 = 2025. o número que você Encontre nesta etapa é o segundo dígito da sua resposta, para que você possa adicioná -la acima do sinal radical. Em nosso exemplo, queremos encontrar o número para preencher o espaço em branco em 4_ × _ que torna a resposta o maior possível, mas ainda menor ou igual a 245. Nesse caso, a resposta é 5. 45 × 5 = 225 , enquanto 46 × 6 = 276.
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Continue, usando seus números “em branco” para sua resposta. Continue executando esse padrão de divisão longa modificada até começar a obter zeros ao subtrair do seu número “abandonado” ou atingir o nível de precisão desejado. Quando você estiver pronto, os números que você usou para preencher os espaços em branco em cada etapa (mais o primeiro número que você usou) compõem os dígitos em sua resposta. Continuando a partir do nosso exemplo, subtraímos 225 de 245 para obter 20. Em seguida, desistiríamos do próximo par de dígitos, 00, para fazer 2000. Dobrando os números acima do sinal radical, obtemos 25 × 2 = 50. Resolvendo Para o espaço em branco em 50_ × _ =/<2.000, obtemos 3. Neste ponto, temos "253" acima do sinal radical - repetindo esse processo mais uma vez, obtemos um 9 como nosso próximo dígito.
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Mova o ponto decimal do seu “dividendo” original. Para finalizar sua resposta, você precisa colocar seu ponto decimal no lugar certo. Felizmente, isso é fácil – tudo o que você precisa fazer é alinhar com o ponto decimal no seu número original. Por exemplo, se o número sob o sinal radical for 49,8, você simplesmente moveria o ponto para cima entre os dois números acima do 9 e o 8. [11] Em nosso exemplo, o número sob o sinal radical é de 6,45, então simplesmente deslizaríamos o ponto para cima e o colocamos entre os 2 e 5 dígitos da nossa resposta, dando -nos 2.539.
Parte 3
Estimando rapidamente quadrados imperfeitos
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Encontre quadrados não perfeitos ao estimar. Depois que você memorizou seus quadrados perfeitos, encontrar as raízes quadradas dos quadrados imperfeitos se torna muito mais fácil. Como você já conhece uma dúzia ou mais quadrados perfeitos, qualquer número que cai entre dois desses quadrados perfeitos pode ser encontrado “afinando” em uma estimativa entre esses valores. Para começar, encontre os dois quadrados perfeitos que seu número está entre. Em seguida, determine qual desses dois números é o mais próximo. [12] Por exemplo, digamos que precisamos encontrar a raiz quadrada de 40. Como memorizamos nossos quadrados perfeitos, podemos dizer que 40 está entre 62 e 72, ou 36 e 49. Como 40 é maior que 62, sua raiz quadrada será maior que 6 e, como é menor que 72, sua raiz quadrada será menor que 7. 40 está um pouco mais próxima de 36 do que 49, então a resposta provavelmente estará um pouco mais próxima para 6. Nas próximas etapas, diminuímos nossa resposta.
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Estime a raiz quadrada em um ponto decimal. Depois que você escolheu dois quadrados perfeitos que seu número está entre, é simplesmente uma questão de afastar sua estimativa até que você chegue a uma resposta com a qual você está satisfeito – quanto mais você for, mais precisa sua a resposta é. Para começar, escolha um ponto decimal do “décimo lugar” para sua resposta – não precisa estar correto, mas você economizará tempo se usar o bom senso para escolher um que esteja próximo da resposta certa. [13] Em nosso exemplo de problema, uma estimativa razoável para a raiz quadrada de 40 pode ser 6,4, pois sabemos de cima que a resposta provavelmente está um pouco mais próxima de 6 do que de 7.
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Multiplique sua estimativa por si só. Em seguida, encaixe sua estimativa. A menos que você tenha sorte, provavelmente não receberá seu número original – você será um pouco mais alto do que ele ou um pouco mais baixo. Se sua resposta estiver muito alta, tente novamente com uma estimativa um pouco menor (e vice -versa se for muito baixa). [14] Multiplique 6.4 por si só para obter 6,4 × 6.4 = 40,96, que é um pouco maior que o número original. Em seguida, desde que superamos nossa resposta, multiplicaremos o décimo número um a menos que a nossa estimativa acima por si só e obteremos 6,3 × 6.3 = 39,69. Isso é um pouco menor que o nosso número original. Isso significa que a raiz quadrada de 40 está entre 6,3 e 6.4. Além disso, como 39,69 está mais próximo de 40,96, você sabe que a raiz quadrada estará mais próxima de 6,3 do que 6,4.
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Continue estimando conforme necessário. Neste ponto, se você estiver feliz com suas respostas, poderá simplesmente usar uma de suas primeiras suposições como uma estimativa. No entanto, se você gosta de uma resposta mais precisa, tudo o que você precisa fazer é escolher uma estimativa para o seu “centésimo lugar” que coloca essa estimativa entre os dois primeiros. Continuando com esse padrão, você pode obter três lugares decimais para sua resposta, quatro e assim por diante – depende de quão longe você quer ir. [15] Em nosso exemplo, vamos escolher 6,33 para nossa estimativa de ponto de duas decimais. Multiplique 6,33 por si só para obter 6,33 × 6,33 = 40.0689. Como isso está um pouco acima do nosso número original, tentaremos um número ligeiramente menor, como 6,32. 6,32 × 6,32 = 39.9424. Isso está um pouco abaixo do nosso número original, por isso sabemos que a raiz quadrada exata está entre 6,33 e 6.32. Se quiséssemos continuar, continuaríamos usando a mesma abordagem para obter uma resposta que continuamente é cada vez mais precisa.